Un saludo :)

Buenas tardes a todos. Hemos decido abrir este blog para compartir con vosotros lo que ahora mismo estamos estudiando en Matemáticas: La semejanza. Pronto actualizaremos de nuevo con la primera entrada correspondiente a los conceptos que vamos a tratar: Una vista general sobre lo que es la Semejanza y algunas de sus aplicaciones, así como tres problemas como ejemplos. Este tema lo tratará Alicia López. A continuación, expondremos Triángulos Rectángulos y Teoremas con sus respectivos problemas, por Alberto González. Después, la Razón de Semejanza, expuesto por Abel Leonés. Y por último, Aplicaciones (Escalas y Distancias inaccesibles), por Sandra Ruiz. 

Un saludo :)

Semejanza

·Figuras Semejantes:

Las figuras semejantes son las que mediante el zoom (homotecias) y movimientos (giros, traslaciones y simetrías) pueden coincidir.

Un polígono está determinado por sus lados y ángulos, por tanto para que dos polígonos sean semejantes basta con que los lados homólogos sean proporcionales (con el zoom se multiplican todos los lados por el mismo número) y sus ángulos iguales (las homotecias, los giros, las traslaciones y simetrías no modifican los ángulos de las figuras).

Teorema de Thales:

Para que dos polígonos sean semejantes se han de cumplir dos condiciones

1. Ángulos iguales
2. Lados proporcionales

Pero en los triángulos basta con que se de una condición.

Triángulos semejantes. Criterios:

Dos triángulos son semejantes si cumplen alguno de los siguientes criterios llamados criterios de semejanza.

Problemas

Teorema del cateto (I)

·Teorema del cateto

Donde a = hipotenusa

b y c = catetos

m = proyección del cateto b sobre la hipotenusa

n = proyección del cateto c sobre la hipotenusa

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Generaliza a triángulos acutángulos y obtusángulos: 

Problemas

Teorema de la altura (II)

·Teorema de la altura

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa.  En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta. El cuadrado de la altura que descansa sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Problemas

Aplicaciones: Escalas y distancias inaccesibles

· ESCALAS

Los mapas o planos de viviendas suelen indicar la escala de esta manera:

1:2500000

(En un mapa de carretera)

1:250

(En un plano de una vivienda)

La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa. Es la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad.

Representación

Las escalas se escriben en forma de razón donde el antecedente indica el valor del plano y el consecuente el valor de la realidad. Por ejemplo la escala 1:500, significa que 1 cm del plano equivale a 5 m en la realidad.

• Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1, 75:1

Si lo que se desea medir del dibujo es una superficie, habrá que tener en cuenta la relación de áreas de figuras semejantes, por ejemplo un cuadrado de 1cm de lado en el dibujo.

PROBLEMA

· DISTANCIAS INACCESIBLES

Se denomina de esta forma porque para su medición, no podríamos utilizar instrumento alguno. Sin embargo, sí podemos representar las situaciones mediante la utilización de escalas y representaciones gráficas.

Aplicando la semejanza y el teorema de Tales se puede calcular la distancia de la tierra a la luna, a partir de la duración de un eclipse total. O conociendo los radios de la luna y del sol y la distancia de la tierra a la luna, se puede hallar la distancia de la tierra al sol. La semejanza hace accesibles figuras y distancias inaccesibles.

PROBLEMAS

RAZONES DE SEMEJANZA

·Razones de Semejanza


Longitud:

Si dos figuras A y B son semejantes, se llama razón de semejanza de la figura B sobre la A al cociente entre la longitud de un segmento de la figura B y la de su homólogo en la figura A. La razón de semejanza define la homotecia que transforma la figura A en la B.

Area:

Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el área de B y el área de A es el cuadrado de la razón de semejanza de la figura B sobre la A.

Volumen:

Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el volumen de B y el de A es el cubo de la razón de semejanza de la figura B sobre la A. 

 Problemas